domingo, 29 de marzo de 2009

CALCULO PROPOSICIONAL

Proposiciones *
Una proposición, para los fines de esta exposición, es una declaración la cual puede ser verdadera o falsa, por ejemplo: 5 > 4, 2+2=5, "Pedro comió a las 3", "Me gusta la sopa". Algunas veces es más difícil que otras determinar si la declaración (o proposición) es verdadera o falsa, en otras palabras, si toma el valor de verdad o falsedad. Sin embargo, esto no cambia el hecho de que existe sólo una posibilidad, ya sea que la propuesta puede que sea verdadera o sea falsa. Algunas declaraciones que no califican con este criterio son "Tu sweater es bonito", ײ=9, "¿Cómo dijiste?".
Esta definición propuesta es una definición formal, esto es, una definición que se ha hecho cuidadosamente para que todas las posibilidades queden cubiertas; se ha hecho de este modo con el fin de que no existan ambigüedades ni malentendidos. En muchas ocasiones se utilizan letras para representar las proposiciones.
Se dice que una proposición es simple o atómica, si no está compuesta por otra proposición.
Las Proposiciones compuestas se pueden crear combinando conectores con proposiciones simples.
Definiciones: la representación de una proposición es en letras minúsculas seguidas de ":"
Dadas las proposiciones P y Q La conjunción de P y Q, cuya notación es P Q, es la proposición P y Q. P Q es verdadera únicamente cuando ambas P y Q son verdaderas.
La disyunción de P y Q, cuya notación es P Q, es la proposición P o Q. P Q es verdadera únicamente cuando al menos una de las proposiciones P y Q es verdadera.
La negación de P, cuya notación es P, es la proposición NO P. P es verdadera únicamente cuando P es falsa.
Estado de proposiciones *
Según el valor de verdad las proposiciones pueden estar en tres estados:
Tautología o validez: es una proposición que siempre es verdadera.
Contradicción: es una proposición que siempre es falsa.
Contingencia: es una proposición que puede ser verdadera o falsa
Cualquier proposición cae en una de estos tres estados.
Sintaxis y notación*
Sintaxis El primer paso en el estudio de un lenguaje es definir los símbolos básicos que lo constituyen (alfabeto) y cómo se combinan para formar sentencias. Está constituido por:
Símbolos de veracidad: para verdadero y para falso. Alternativamente se pueden usar V para verdadero y F para falso.
Símbolos de variables: p, q, ... , z
Símbolos de conectivas: , , , ,
Símbolos de puntuación: paréntesis (), corchetes [] y llaves {} para evitar ambigüedades.
Reglas de formación. Las clases de sentencias bien formadas se definen por reglas puramente sintácticas, llamadas reglas de formación, y que son:
Una variable proposicional es una sentencia (también llamada fórmula) bien formada.
Una sentencia bien formada precedida de la negación es una sentencia bien formada.
Dos sentencias bien formadas unidas por una de las partículas conectivas binarias constituye una sentencia bien formada.
Se pueden omitir los paréntesis que encierran una sentencia completa.
El estilo tipográfico de los paréntesis se puede variar para hacerlos más evidentes usando corchetes y llaves.
A las conjunciones y disyunciones se les puede permitir tener más de dos argumentos.
Conectivas. Las conectivas se dividen por su aplicación en:
Singulares: se aplican a una única sentencia.
Binarias: se aplican a dos sentencias.
Lenguaje formal del cálculo de proposiciones
El lenguaje formal de la lógica proposicional se puede generar con la gramática formal descrita usando la notación BNF como sigue:
La gramática anterior define la precedencia de operadores de la siguiente manera:
Negación ( )
Conjunción ( )
Disyunción ( )
Implicación ( )
Coimplicación ( )

No hay comentarios:

Publicar un comentario